مقالات انیگرال

انتگرال

قضیه اساسی حسابان
حد
تابع پیوسته
قضیه مقدار میانگین
نمایش گرافیکی انتگرال.

اَنتِگرال (به انگلیسی: Integral) مقدار مشترک ممکن زیرینهٔ مجموعه‌ای ریمانی و زبرینهٔ مجموعه‌ای ریمانی یکتابع حقیقی در بازهٔ مفروض است.[۱] انتگرال از مفاهیم اساسی در ریاضیات است که در کنار مشتق دو عملگر اصلی حساب دیفرانسیل و انتگرال را تشکیل می‌دهند.

نخستین بار لایب نیتس نماد استانداردی برای انتگرال  معرفی کرد.

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}\int _{{a}}^{{b}}f(x)\,dx

{\displaystyle a}a و {\displaystyle b}b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و {\displaystyle f(x)}f(x) تابعی انتگرال‌پذیر است و {\displaystyle dx}dx نمادی برای متغیر انتگرال‌گیری  است.

از لحاظ تاریخی {\displaystyle dx}dx یک کمیت بی‌نهایت کوچک را نشان  می‌دهد. هر چند در تئوری‌های جدید، انتگرال‌گیری بر پایه متفاوتی پایه‌گذاری شده‌است.

 

 

انتگرال نامعینویرایش

تعریف: هرگاه معادله دیفرانسیل تابعی معلوم باشد و  بخواهیم معادله اصلی تابع را معلوم کنیم این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد {\displaystyle \int }\int  نمایش می‌دهند. به انتگرال نامعین ضد مشتق نیز گفته می‌شود، زیرا عمل انتگرال نامعین گرفتن دقیقاً برعکس عملیات مشتق‌گیریاست. بنا به تعریف، نماد {\displaystyle \int {f(x)}.dx}\int {f(x)}.dx را انتگرال نامعین نامیده و حاصل آن را تابعی مانند {\displaystyle F(x)+c}F(x)+c در  نظر می‌گیریم هرگاه داشته باشیم:

{\displaystyle \int {f(x)}.dx=F(x)+c}\int {f(x)}.dx=F(x)+c

در واقع می‌توان چنین بیان کرد:

{\displaystyle F'(x)=f(x)\Leftrightarrow \int {f(x)}.dx=F(x)+c}F'(x)=f(x)\Leftrightarrow \int {f(x)}.dx=F(x)+c

مثال: مقدار انتگرال تابع {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}+2x^{2}-8}f(x)={\sqrt {x}}+2x^{2}-8 را حساب کنید:

{\displaystyle \int {f(x)}.dx=\int {(x^{\frac {1}{2}}+2x^{2}-8)}.dx=\int {x^{\frac {1}{2}}}.dx+2\int {x^{2}}.dx-8\int {dx}={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C}{\displaystyle \int {f(x)}.dx=\int {(x^{\frac {1}{2}}+2x^{2}-8)}.dx=\int {x^{\frac {1}{2}}}.dx+2\int {x^{2}}.dx-8\int {dx}={\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C}

{\displaystyle \Rightarrow \int {f(x)}.dx={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C}\Rightarrow \int {f(x)}.dx={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+{\frac {2}{3}}x^{3}-8x+C
 

انتگرال معینویرایش

نوشتار اصلی: پاد مشتق

بنا به تعریف، نماد {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x).dx}\int _{a}^{b}f(x).dx را انتگرال معین نامیده و حاصل آن را به ازای {\displaystyle aa<x<b عددی به  صورت زیر تعریف می‌کنیم:

انتگرال معین یک تابع می‌تواند به عنوان علامت مساحت ناحیه محدود شده با گرافش نشان داده شود.

{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x).dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)}\int _{a}^{b}f(x).dx=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)

{\displaystyle a}a و {\displaystyle b}b به ترتیب، کرانهای بالا و پایین انتگرال نامیده می‌شوند.

 

تابع انتگرال‌پذیرویرایش

اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال‌پذیر گویند.

 

تعبیر هندسی انتگرالویرایش

از نظر هندسی انتگرال برابر است با مساحت سطح محصور زیر نمودار.

نکته انتگرال نمودار سه بعدی(انتگرال دوگانه) معرف حجم محصور زیر نمودار است و انتگرال سه‌گانه معرف پارالل زیر نمودار است (غیرقابل تصور).

مثالویرایش

انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (۰٬۱۰) در واقع پیدا کردن مساحت محصور بین خطوط x=0 , x=۱۰ و خم منحنی {\displaystyle f_{x}}f_{x} است. aو bb نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال‌پذیر است و dxx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است.

Integral.svg
 

انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است.

 

انتگرال گیریویرایش

(محاسبه انتگرال) انتگرال گیری به معنی محاسبه سطح زیر نمودار با استفاده از روشها وقوانین انتگرال گیری است(انتگرال معین). انتگرال را می‌توان عمل برعکس مشتق معرفی نمود(انتگرال نامعین)

 

مهم‌ترین تعاریف در انتگرالویرایش

Riemann integral approximation example
Integral example with irregular partitions (largest marked in red)
Riemann sum convergence
Riemann sums converging

از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان وانتگرال لبگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هنری لبگ ارائه داد که طبق این  تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر  از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:

 

محاسبه انتگرالویرایش

Integral approximation example
Approximations to integral of √x from 0 to 1, with 5 ■  (yellow) right endpoint partitions and 12 ■  (green) left endpoint partitions

اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق  آن داریم:

1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می‌گیریم. ۲. پاد مشتق f را پیدا می‌کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: ۳. قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می‌گیریم:

بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود.

به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست  (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارت‌اند از:

روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.

تقریب انتگرالهای معینویرایش

محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل‌هایی زیر نمودار. هر چه قدرعرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست می‌آید.

انتگرال‌هایی معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.

Darboux sums

Upper Darboux sum example
Darboux upper sums of the function y = x2
Lower Darboux sum example
Darboux lower sums of the function y = x2
 

کاربرد

 

جستارهای وابسته

 

منابع

 

پانویس

 

 

 
 

مقاله‌های مرتبط

®

محتوا تحت CC BY-SA 3.0 در دسترس است 
 مگر خلافش ذکر شده باشد.
+ نوشته شده در جمعه بیست و دوم بهمن ۱۳۹۵ ساعت 14:25 توسط Ghanbar.m  |